假如某行星围绕太阳作椭圆运动，太阳质量为M，行星近日点和远日点距离为R1和R2，那么行星围绕太阳公转运动的所有基本特征都可以确定，例如：

可确定公转轨道的椭圆方程：

 

 

我们先来推导椭圆的极坐标方程。

把极点选在椭圆的一个焦点上，让极轴沿着椭圆的长轴指向远离另一焦点的方向，如图

 

按照定义，椭圆是到两焦点的距离之和等于常数（设这常数为2a）的点的轨迹。椭圆的方程应为

 

（这里设两焦点间的距离为2c）

在上一方程中，先把左边的第一项r移到右边，再取两边的平方消去根号，我们得到

 

由此又可得到

 

这里

 

这样我们就得到了椭圆的极坐标方程

 

采用极坐标

 

其中，   （万有引力定律），   。

这里M是太阳的质量，m是行星的质量，G是万有引力常数。行星的运动方程可以写成

  （极坐标加速度公式）

这里K=GMm。后一方程两边乘以r得

 

或

 

这说明面积速度等于常数

 （常数）

再来考察方程

 （1）

记u=1/r，则从

 

可得

 

我们有

 

 

方程（1）化成

 

即

 

这是一个二阶常系数线性微分方程。容易看出它的一个特解是   。于是，这个方程的一般解为

 

这式又可写成

 

其中

 ，   ，

于是有

 

这里

 ，

我们得到了圆锥曲线的一般方程

 

因为旋转中的行星不会跑到无穷远去，它的轨道应该是一个椭圆。

该轨道方程，正是圆锥曲线的标准方程，其中e为偏心率！

（1）当e=0时，曲线为正圆；

（2）当0<e<1时，曲线为极点在下焦点的椭圆；

（3）当e=1时，曲线为开口向上的抛物线；

（4）当e>1时，曲线为极点在上焦点的双曲线；

至于偏心率实际为多少，取决于c1、C和GM，为大天体的引力场分布，和小物体的初始状态；sinθ=-1为近日点，sinθ=1为远日点。