人造卫星引力势能公式的微积分推导

本文系统阐述万有引力产生的引力势能概念，引力势能计算式的推导过程（微积分），引力势能与引力做功关系。

由引力势能反思：高考物理复习注意知识回顾

高考物理命题的一大特点就是综合，一道复杂的计算题，往往会涉及到多个章节的内容，需要联立很多公式求解计算。

对高三学生而言，在复习完了《机械能》这个章节之后，我们就会反过头来研究上个章节《万有引力与航天》部分的能量：引力势能。

同学们可以看一下第六章《万有引力与航天》的内容，这个章节中我们一直探究的是物理量是：万有引力、向心力、星体的周期、密度等物理量，没有研究能量的涉及；因为能量和功率是在《机械能》这部分才讲的。

引力势能的概念

物体由于受到万有引力的作用而具有的能量，叫做引力势能。引力势能与万有引力做功之间存在对应关系。

引力势能大小与万有引力做功

引力势能增加的过程，物体在克服万有引力做功，做功的大小与引力势能的增加量相等。

引力势能减小的过程，则万有引力对物体做正功，做功的大小与引力势能的减小量相等。

人造卫星能量分析

对天体运动而言，研究的主要能量是引力势能+动能。

人造卫星的总能量包括两种类型：动能和引力势能。总能量为两者之和；这里的引力势能是卫星相对于地球（而非太阳）而言的。

对人造卫星而言，距离地球越远，具有的总能量越大。

具体来看：

R越大，E总=Ek+Ep越大；

R越大，Ek越小；

R越大，Ep越大；

（Ep的增量比Ek的减量要大，或者说Ep增大的率，要比Ek减小的率大）

 

Ek随着轨道半径R减小，可以通过向心力=万有引力的公式与动能的定义式推导出来。

在宇宙中的运动，如果推力器的引擎是关闭的，那么人造卫星的机械能是守恒的，因为只有重力做功；运动过程中，只有引力势能和动能之间的转化。

补充一点：人造卫星一分为二的过程除外；该过程是动量守恒。

只有万有引力做功下卫星的运动能量分析

只有万有引力做功，卫星的机械能是守恒的。

在卫星的实际运行中，往往是要借助推进器的能量（如化学能、电能、核能），实现卫星的加速（或改变运动轨迹），提高卫星的总能量。

同样的逆过程，也是成立的。比如陨石撞地球，就是地球引力对陨石做功，增大陨石动能的过程。从能量的角度来看，就是引力势能转化为了陨石的动能。

人造卫星引力势能公式的微积分推导

引力势能wuli.in的物理表达式是：Ep=-GMm/R；

其中Ep是引力势能，G是万有引力常量；M是地球的质量，m为研究对象的质量，R为m距离地球中心的距离；负号表示的是，引力势能为负值。因为我们规定的是无穷远处为零势能面。

引力势能的表达式是怎么来的？老师给同学们做了一个微积分的推导，见下图所示：

其中A为人造卫星目前所在的位置；B为无穷远处的一个点（该点的引力势能为零）；

把质量为m的卫星从A推到B点，至少要做的功的计算式如下图：

 

从功和能之间的关系来分析，功的大小，等于能量的大小。只不过，在A点卫星的势能为负的。

为什么是负的，同学们可以想一想把一个物体举高的过程，做的功与重力势能的改变及对应关系。对这一点不熟悉的同学，在解题的时候可以考虑都计算正数，最好再来讨论正负号的问题，这样是有利于多的分数的。

为了便于同学们深入理解引力势能的推导过程，我们再来复习一下功能关系的相关概念。

功能关系

我们先来对功和能的联系与区别进行复习，功能关系详细解析请看本文底部的参考文章。功是一个过程量（某个时间段内做的功），能量是一个状态量（对应某个时刻的能量）。

两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

功是一种过程量，它和一段位移(一段时间)相对应。

能是一种状态量(静态量)，它和一个时刻相对应。

或者说，能量是一个“点”，而功是从一个点到另一个点之间的“线”。

在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。  

功能关系到底在说什么？

我们先来说结论。功能关系研究的问题是：在研究过程中，力所做的功，到底转化为了什么能量？ 

高中物理课本上有这么一句话，做功的过程是能转化的过程，功是能转化的量度。这句话说得很抽象，很深奥，同学们需要借助具体模型来理解，比如类似重力做功与重力势能关系，比如弹簧弹力做功与弹性势能变化关系，比如类似今天我们探究的引力做功与引力势能模型来理解。

从功能关系不难看出：引力势能与万有引力做功之间的相互对应关系。具体是：

引力势能增加的过程，物体在克服万有引力做功，做功的大小与引力势能的增加量相等。

引力势能减小的过程，则万有引力对物体做正功，做功的大小与引力势能的减小量相等。

引力势能学习问题与老师答疑

学生问题：第二宇宙速度与引力势能有何关联？

老师：第二宇宙速度指的是，从地球表面以该速度发射卫星，卫星会逃逸出地球的引力，成为绕着太阳运行的人造行星。第二宇宙速度的大小是13.4km/s，具体推导过程可看下方老师的参考文献。第二宇宙速度其实就是让卫星的速度达到，足以克服地球引力势能，从而从地球的引力范围内逃逸出去，进入太阳系。想深入理解万有引力与人造卫星等考点，笔者推荐同学们认真做物理自诊断专题15、专题16与专题17的习题，把视频都好好看看。

学生问题：引力势能的表大会，为何是负数？

老师：与重力势能类似，我们研究所有的势能（包括电势能）都是要首先规定零势能面的。如果我们规定地面为零势能面，那么地下室的物体所具有的引力势能就都是负的。即把这些物体，搬到地面上是要做功的，要克服重力做功。同一的道理，我们规定了无穷远处为零引力势能面，就像是规定楼顶为零势能面，所有的居民所具有的势能就都为负数了。您最好是画个图，再结合文章上方的视频去理解一下。想深入理解万有引力与人造卫星等考点，我推荐大家认真做物理自诊断专题15、专题16与专题17的习题，把视频都好好看看。