圆周运动

与平抛运动类似，圆周运动也是最为典型的曲线运动之一。我们来分析圆周运动都有哪些特点？

圆周运动的概念

质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动时，即其轨迹是圆周的运动叫圆周运动。

在运动过程中速率的大小维持不变而仅仅是方向变化，这样的圆周运动称之为匀速圆周运动。

严格来说，匀速圆周运动应该叫做匀速率圆周运动。因为其速度并非“均匀不变”的，速度是矢量，其大小速率不变。在圆周运动的过程中，速度大小不变，其方向时刻发生变化。

圆周运动是一种最常见的曲线运动。例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。

圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动。变速圆周运动的代表是：竖直平面内绳或杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动等。在讲解机械振动的时候，我们研究的单摆其实在做的就是非匀速的圆周运动(往复性质)。

从运动性质上来说，匀速圆周运动是变速运动(v方向时刻在变)，而且是变加速运动(a方向时刻在变)。只要物体做圆周运动，那么必然受力不平衡，必须有外力提供向心力。

描述匀速圆周运动的物理量

描述匀速圆周运动的物理量有很多，包括线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度a、向心力F等等。

转速n的单位是r/s(转每秒)或r/min(转每分)，注意区分r/s和rad/s。

凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。

圆周运动向心力和向心加速度

向心加速度的定义a = v^2/r；

同时也可证明a =（2π）^2r/T^2；

向心力的定义F = mv^2/r；

也可表示为F=mω^2r(v是线速度，ω是角速度)

牛顿第二定律在圆周运动中的应用

（1）做匀速圆周运动物体wuli.in所受的合力为向心力。“向心力”是一种效果力。可以是一个力，也可以是几个力的合力，只要其最终效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。

（2）一般地说，当做非匀速圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小;其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律:Fn=ma在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力(可选用 等各种形式)。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小;如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。

（3）圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。常见的水平面内的匀速圆周运动还有：汽车在水平面内转弯、物体随转盘做匀速圆周运动等，这两种情况下，都是静摩擦力充当向心力。

（4）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类。这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

圆周运动公式整理

匀速率圆周运动的最基本公式（向心力公式）：F合=F向=m*v*w；

换句话来说，某物体在做匀速率圆周运动，必然受到外力作用，这些外力的合成效果（合外力）共同提供一个向心力，这个力的大小等于m*v*w；

其中m为物体的质量，v为物体运动的线速度，w为物体运动的角速度。向心力的方向始终指向物体圆周运动的圆心。

再来补充一下圆周运动中角速度的概念。

角速度是相对于速度来定义的。

角速度研究的是单位时间内角度的变化，其的定义w=△θ/△t；

如果是匀速率的旋转，角速度大小不变，当我们取时间△t=周期T时，不难看出w=2π/T；这个公式的应用更加广泛，在高中数学中也提及过。

我们再来补充线速度v的定义，与前面匀变速直线运动讲解的有些区别，这里的线速度的运动是弧线上的，其定义为：

v=△l/△t；

其中△l为△t时间内走过的弧长，与数学上讲解的弧长计算一直，即弧长l=Rθ，我们将其带入有

v=△l/△t=R△θ/△t=R*w；（注意后面的△θ/△t正好是w的定义）

我们将v=w*R代入F合=F向=m*v*w；有这样的一系列变形公式：

上面公式中，去掉m的部分，就是圆周运动加速度公式。

不同情况下圆周运动通过最高点的规律

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力的方向必然向上且大于重力;而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

(1)弹力方向只可能向下，如绳拉球。这种情况下有:即v≥v0，否则不能通过最高点。

(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有:v<v0，否则车将离开桥面，做平抛运动(当车落回路面时由于压力突然增大，可能引起爆胎，不安全)。

(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论:

①速度很大物体受到的弹力必然是向下的;速度太小时物体受到的弹力必然是向上的;介于两者之间的值时，物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F<mg时，向心力有两解:mg±F;当弹力大小F>mg时，向心力只有一解:F +mg。 

生活中的圆周运动应用

火车过弯道：实际做圆周运动，设计成外轨比内轨稍高，具有向心加速度。

汽车过拱形桥：也可看作圆周运动，桥对车的支持力小于重力；两者的合力必须提供圆周运动的向心力。

汽车过凹形桥：也可看作圆周运动，桥对车的支持力大于重力；两者的合力必须提供圆周运动的向心力。

汽车在拐弯时，不能速度太大，目的就是速度太大，需要的向心力就越大，汽车的向心力主要是地面摩擦力提供的。如果太大，则会变为滑动摩擦力，俗称打滑，是十分危险的。

圆周运动与天体运动

大部分的天体都是在万有引力作用下做类似圆周运动的椭圆周运动，这一问题，我们在万有引力中有详细的介绍，链接间下方的参考文献。

洛伦兹力下的圆周运动

因为洛伦兹力始终与速度方向垂直，因此洛伦兹力可以提供带电粒子的向心力。这一问题我们会在带电粒子在匀强磁场中偏转进行详细的介绍。

圆周运动学习问题与老师答疑

学生问题1：圆周运动的受力分析总是搞不懂咋办？

老师：不要着急，圆周运动的难点就在于受力分析与圆周运动向心力公式的结合，这是难点也是考试的重点。受力分析依然要采用前面讲过的分析步骤，通过画受力图和正交分解来找出合外力来。一定要牢记，物体所受到的合外力提供向心力。我建议你把《物理自诊断》专题14的例3，例5，例6，例7，例8；好好看看喔喔的视频都看一遍。

学生问题1：带电粒子在匀强磁场中圆周运动周期公式是不是要推导？

老师：是的，洛伦兹力下的周期公式T=2πm/Bq，这个公式必须经过推导才能够得到。

推导的过程，就是利用洛伦兹力提供向心力，qvB=mv2π/T，数学推导一下就能得到周期公式T=2πm/Bq；如果直接带这个周期公式，考试的时候（包括高考在内）是必然会扣分的。