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第 17 章微积分基本定理(The Fundamental Theorems of Calculus)

这一章我们将要学习：

考虑积分下面积分式子实际上是一个以积分上线 x 为变量的函数, 这就有

观看下面的动画:

观察下面的图形:

上图淡红色的阴影部分, 当 h 很小的时候几乎为小竖条, 所以可以用计算长方形面积的方法来估算该竖条的面积, 它的底从x 到x+h, 高从0 到f(x), 所以面积是 h*f(x) , 也就是:

微积分的第一基本定理:如果函数f 在闭区间 [a,b] 上是连续的, 定义F 为

则 F 在开区间 (a,b) 内是可导函数, 而且 F'(x)=f(x)

反导数的引入(Introduction to antiderivatives)

假设 f(t)=t2, a=0f(t)=t2, a=0 所以有

微积分的第一基本定理告诉我们 F'(x) = f(x). 因为f(t) = t2t2, 所以有f(x) =x^2; 也就是说, F'(x) = x^2. 换一种说法, 函数 F 的导数为 x^2. 我们说 F 是 x^2 的反导数(关于x).

微积分的第二基本定理：如果函数 f 在闭区间[a, b] 上是连续的, F 是 f 的任意一个反导数(关于x), 那么有

到目前为止, 我们使用两种不同的方法计算定积分：黎曼和的极限和反导数.

如果你知道一个函数的导数, 那么就会很快求出这个导数的反导数. 具体情况是：

不定积分没有积分上下限, 而定积分有.

定积分是一个数, 它表示由曲线 y=f(x), x 轴以垂线 x=a 和 x=b 所围成的面积;不定积分是一个函数的集合. 这个集合由函数 f 的所有反导数(关于 x)组成. 例如:

不定积分的两个性质:

(End)

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