洛伦兹变换

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洛伦兹变换是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。

基本信息
中文名称
洛伦兹变换

外文名称
Lorentz transformation

别称
洛伦兹变换式

提出者
亨德里克·洛伦兹

 

基本介绍
洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标轴彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t＝t′＝0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为x′＝γ（x－vt），y′ ＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c为真空中的光速。不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。

发现历史
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。

由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。

然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。根据他的设想，观察者相对于以太以一定速度运动时，以太（即空间）长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上的光速差异，这样就解释了迈克耳孙-莫雷实验的零结果。

简明推导
公设一
相对性原理。物理规律(包括力学规律在所有的惯性系（惯性系就是能让牛顿第一定律成立的参考系）中都是相同的。也就是说，不同惯性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速条件下，牛顿三定律的公式在地球惯性系中是这样写的，在太阳惯性系中也是一样的写法

公设二
光速不变。在所有惯性系中，真空中的光速等于恒定值c。光速大小与参考系之间的相对运动无关，也与光源、观察者的运动无关

推导过程
现在根据这两个事实，推导坐标的变换式

设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系，S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。两惯性系重合时，分别开始计时

若x=0，则x'+vt'=0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为

x=γ(x'+vt') (1)

式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子

（由于这个变换是猜测的，显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性）

在此猜测上，引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为

x'=γ(x-vt) (2)

y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即

y'=y (3)

z'=z (4)

把（2）代入（1），解t'得

t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)

在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值

设想由重合的原点O（O'）发出一束沿x轴正方向的光，设该光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变，有

X=cT (6)

X’=cT' (7)

（1）（2）相乘得

xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8)

以波前这一事件作为对象，则（8）写成

XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9)

（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子

γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)

（10）代入（5），化简得

t'=γ(t-vx/c^2) (11)

把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换

x'=γ(x-vt)，

y'=y，

z'=z，

t'=γ(t-vx/c^2) (12)

根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换

x=γ(x'+vt')，

y=y'，

z=z'，

t=γ(t'+vx'/c^2) (13)

下面求洛伦兹变换下的速度变换关系

考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度。设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j，n，m)和u'(j'，n'，m')

由（12）对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换

j'=(j-v)/(1-vj/c^2)，

n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，

m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)

根据相对性原理，由（14）得S'系到S系的洛伦兹速度变换

j=(j'+v)/(1+vj'/c^2)，

n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1]，

m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)

洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有定量结论。这些结论得到实验验证后，也就说明了狭义相对论的正确性。

经典的洛伦兹变换

经典的洛伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量τ= ict，那么，正如在§1-2里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z，τ内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。

其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统x，y，z，τ的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为xy，yz，zx三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在xτ平面内的旋转，这时y与z坐标是不变的。令ψ为旋转角，那么，新旧坐标的关系就由以下二式决定：

x = x’cosψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’cosψ （1）

我们现在要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统K’的变换公式，K’以速度V沿X轴对K作相对运动。在这种情况下，显然只有空间坐标x与时间坐标τ发生变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角ψ的问题，而ψ又仅与相对速度V有关。我们来研究参考系统K’的坐标原点在K内的运动。这时，x’ = 0，而公式(1)可写成：

x = –τ’sinψ； τ=τ’cosψ。 (2）

相除可得

x/τ= - tanψ (3）

但τ= ict，而 x/t显然是K’ 对K的速度V。因此，

tanψ = iV/c (4)

由之得

sinψ= (iV/c)/(1-V2/c2)1/2，cosψ=1/(1-V2/c2)1/2 (5）

代入(1)，得：

x = (x’ - iVτ’/c)/(1-V2/c2)1/2，y = y’，z = z’，

τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V2/c2)1/2 (6）

再将τ= ict，τ’ = ict’代入，最后得

x = (x’ + Vt’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’， z = z’，

t = (t’+ Vx’/c2)/(1-V2/c2)1/2 (7)

这就是所要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。（参见《场论》，Е.М.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15页）

正如所知，这一组关系式就是著名的“洛伦兹变换公式”，也是爱因斯坦狭义相对论的数学基础。的确，按照这一组关系式，只能得出：运动系上的时间坐标（r’）和空间坐标（t’），在运动中会产生“钟慢尺缩”效应。