在前面两篇文章中，我们聊透了算术基本定理的证明和意义，相关内容请戳：

聊一聊数学中的基本定理（二）——算术基本定理的价值
聊一聊数学中的基本定理（一）——算术基本定理的证明
但是，那毕竟是人类数学史上，还停留在算术的古老时代的数学知识了。而人类数学从算术向代数的进发一定是值得回味的浓墨重彩的一笔。今天我们就透过代数基本定理，来看看在代数这一领域的一些基本的数学思维方式。
从算数到代数，是人类抽象认识世界能力一次跨越式的发展。我们可以从剥离了具体对象特征来用统一的自然数给集合计数以外，能够继续再把这具体的数量抽象成用字母来表示的数，研究的是其作为任何数的统一的特征和性质，而不再关心任何一个具体的数，除了在找灵感和验证时候。
而当我们引入代数，再引入方程，自然而然地，我们就遇到了诸如4 + 多少 = 2的问题，于是产生了负数的概念。以及那最经典的故事，x ^ 2 = - 1时候，对x的解的需求引入了复数的存在。看起来越来越找不到实际对象与之对应，但是依据着数学上性质的保持性下的不断拓展，我们找到了其新的物理意义和应用点。
而整个代数大厦根基，还数代数基本定理。

代数基本定理的内容

代数基本定理：任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。
由这一条很容易推出任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根），甚至直接把代数基本定理表述为这个形式。但这二者是等价的，因为一个n次多项式不断地去除以它的一次因子就可以不断化简并得到对应的根，n次自然就有n个了。而在中学阶段，大部分时候讨论的都是实系数多项式，此时复根成对存在，那么对于奇数次多项式，必然存在一个实根，也就是其复数共轭和自身相等的根，这个性质也很常用。这里复根成对存在很好证明，根据实数系数以及共轭的性质，就能直接推导出来。
接下来，如何证明在复数系数的多项式范围内，代数基本定理依然成立，才是考验我们数学能力的时候了。
这个定理的证明，可以从复分析，拓扑学以及纯的代数多个角度来切入，这里我们重点从复分析的角度来讲解，因为这里体现的数学的分析特点最强，方法也最多，其他证明大家可以查阅资料，这里不详细叙述了。

代数基本定理的证明

证明1：寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当|z| ≥ r时，就有|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），是在D的内部的某个点z0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，p(z0) = 0。也就是说，z0是p(z)的一个零点（根）。
好像啥也没说，用了紧致和最小模原理就直接证明完了。我们来看下这两个概念，试着理解下这个证明的思路。
紧致：欧几里得空间 R ^ n 的子集， 是闭集合且是有界。也就是说，对于形如R ^ n子集的集合，其极限运算封闭，有非无穷的大小，那么就是个紧致的集合。其实你随便画个圈应该都是这种集合了。如果画的虚线不包括边界那就不封闭了，如果是正数集合Z显然是无界的，这些都不是紧致的集合，这个概念说得还挺形象的。
最小模原理：设f在有界区域D的内部全纯，并连续到D的边界上，而且没有零点，则|f(z)|的最小值在D的边界上取得。
其源于等价的最大模原理：如果 f 是一个全纯函数（定义在复平面C开子集映射到C上的处处复可微的复函数，是实函数处处可微的复数版本）且不是常数，那么它的模|f|在定义域内取不到局部最大值。取倒数以后就能得到最小模原理了。
另外，最大模原理可以被看作是所谓的开映射定理的一个特例。开映射定理声称，一个全纯函数必然将开集映射到开集。如果 |f| 在定义域内部一点a达到极大值，那么a的一个足够小的领域在f映射下的像集必然不是开集。于是，f必然是常数函数。
再深的证明需要的篇幅和铺垫较多，这里暂不展开了。
这个证明思路应该是和我们去证明一个三次实系数多项式一定有一个零点的思路是一样的，只不过我们把一些不严格的地方都形式化严格了。
证明2：由于在D之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整个复平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)| > 0，那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数z，都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/p是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所以p(z0) = 0。其他都好理解，那这里的刘维尔定理说的，有界的整函数一定是常数是什么意思呢？
这里整函数就是前面提到的全纯函数，实际上，这样的函数一般是无界的，一定发散，而一旦有界，就会出人意料的只能取常值罢了，可见这看不见摸不着的复函数和我们更好直观理解的实数函数完全有着不同的结构，不可随意类比来分析的。其证明这里暂略，总之这也是复分析领域一个重要的结论，并且可以很直接地证明代数基本定理。
其他还有几个基于幅角原理和柯西积分定理的证明，看上去代数基本定理是个特别基础的结论，以至于很多各个代数方向上的结论都或多或少能够作为证明它的直接基础。
以上就是代数基本定理的相关内容，相比算术基本定理对整数结构的重新定义，代数基本定理也给出了在复数范围内的多项式的基本结构，n次多项式有n个复根即表明，它可以在复数范围内因式分解成n个线性的一次表达式的乘积。而且应该和算术的一样，这种分解应该是一个唯一的解集，也就是唯一的一次表达式的任意常数倍的集合。看上去，代数里的因式分解，和算术里的因子分解应该在暗中是对应着的，只不过相对于具体的数的因子，多项式的因式更多了一层抽象罢了。